Apa itu Integral Pada Matematika?

Untuk apa Integral dipelajari?

Beberapa dari kita memang pernah mengerjakan beberapa dari tugas Integral, namun tidak banyak yang mengetahui arti integral, dimana integral akan digunakan, bagaimana rumusnya dan sebagainya. Sehingga membuat pelajaran ini sangat membosankan. Oleh karena itu, pada artikel ini saya akan berbagi ilmu matematika, apa itu integral pada matematika dan contoh penerapannya dalam dunia nyata.


Pengertian integral

Integral adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang digunakan untuk menghitung luas permukaan, volume, dan laju reaksi kimia.

Secara umum, integral merupakan proses mencari sebuah fungsi yang memenuhi persyaratan tertentu. Dalam matematika, integral sering disimbolkan dengan tanda “∫”.


Aplikasi Integral

Integral dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang, di antaranya:

  1. Fisika: Integral dapat digunakan untuk menghitung luas permukaan benda, volume benda, dan laju reaksi kimia.

    Contoh: Menghitung luas permukaan bola dengan menggunakan rumus ∫ a b 4πr^2 dr, di mana a adalah jari-jari bola minimal (0) dan b adalah jari-jari bola maksimal (R).
  1. Geometri: Integral dapat digunakan untuk menghitung luas bidang dan volume benda geometris.

    Contoh: Menghitung luas bidang lingkaran dengan menggunakan rumus ∫ a b πr^2 dr, di mana a adalah jari-jari lingkaran minimal (0) dan b adalah jari-jari lingkaran maksimal (R).
  1. Teknik: Integral dapat digunakan dalam menganalisis sistem dinamis dan menentukan kondisi steady-state.

    Contoh: Menentukan tingkat kelembaban udara pada suatu ruangan dengan menggunakan persamaan integral.
  1. Ekonomi: Integral dapat digunakan dalam menganalisis pasar keuangan dan menentukan harga opsi.

    Contoh: Menentukan harga opsi panggilan dengan menggunakan persamaan integral Black-Scholes.
  1. Ilmu Pengetahuan Alam: Integral dapat digunakan dalam menganalisis pergerakan benda di ruang dan waktu.

    Contoh: Menentukan pergerakan planet di tata surya dengan menggunakan persamaan integral Kepler.

Jenis Integral

Integral dapat dibagi menjadi dua jenis, yaitu integral tentu dan integral tak tentu.

  1. Integral tentu adalah integral yang dilakukan pada batas yang sudah ditentukan. Integral tentu digunakan untuk menghitung luas permukaan atau volume dengan menggunakan rumus-rumus integral khusus.
  2. Integral tak tentu adalah integral yang tidak memiliki batas yang jelas. Integral tak tentu digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan integral tentu.

Simbol Integral

Integral tak tentu sering disimbolkan dengan tanda “∫”.Apa itu Integral Pada Matematika?
Sedangkan integral tentu sering disimbolkan dengan tanda “∫ a b”.Apa itu Integral Pada Matematika?

Contoh dari integral tentu adalah menghitung luas permukaan bola dengan menggunakan rumus ∫ a b 4πr^2 dr, di mana a adalah jari-jari bola minimal (0) dan b adalah jari-jari bola maksimal (R).

Contoh dari integral tak tentu adalah menyelesaikan persamaan differensial ∫ x^2 + 2x dx = x^3/3 + x^2 + C.


Rumus integral

Berikut ini adalah beberapa rumus integral yang sering digunakan:


1. Rumus integral tak tentu:

∫ f(x) dx = F(x) + C

di mana:

  • f(x) adalah fungsi yang akan diintegrasikan
  • dx adalah suku dari variabel x
  • F(x) adalah fungsi yang memenuhi persyaratan ∫ f(x) dx = F(x) + C
  • C adalah konstanta yang disebut sebagai konstanta integral.

2. Rumus integral tentu:

∫ a b f(x) dx = F(b) – F(a)

di mana:

  • a dan b adalah batas integral
  • f(x) adalah fungsi yang akan diintegrasikan
  • F(x) adalah fungsi yang memenuhi persyaratan ∫ f(x) dx = F(x) + C

3. Rumus integral terbatas:

∫ a b f(x) dx = ∫ a b g(x) dx – ∫ a b h(x) dx

di mana:

  • a dan b adalah batas integral
  • f(x), g(x), dan h(x) adalah fungsi yang akan diintegrasikan.

Contoh Soal Integral dalam Dunia Nyata

Setelah kita mengetahui arti dari apa itu integral, lalu bagaimana contoh penggunaan integral ini? Agar dapat memahami fungsi integral dalam dunia nyata, berikut saya sertakan contoh soal dan jawabannya.

  1. Sebuah tanah dengan bentuk persegi panjang memiliki lebar 100 m dan panjang 200 m. Tentukan luas tanah tersebut.

    Jawab:

    Luas tanah dapat ditentukan dengan menggunakan rumus luas persegi panjang, yaitu A = p x l. Namun, karena kita tidak tahu lebar tanah, kita perlu menggunakan integral untuk menghitung lebar tanah tersebut.

    Dengan menggunakan koordinat kartesian, lebar tanah dapat diintegrasikan dengan menggunakan rumus ∫ a b f(x) dx, di mana a adalah lebar minimal (0) dan b adalah lebar maksimal (l).

    Setelah diintegrasikan, maka lebar tanah adalah l = ∫ a b f(x) dx.

    Dengan mengganti nilai l dan p ke dalam rumus luas persegi panjang, maka luas tanah adalah A = 100 x 200 = 20000 m^2.

  2. Sebuah tangki berbentuk tabung dengan jari-jari 20 cm dan tinggi 40 cm terisi dengan air hingga tinggi 30 cm. Tentukan volume air dalam tangki.

    Jawab:

    Volume air dalam tangki dapat ditentukan dengan menggunakan rumus volume tabung, yaitu V = πr^2h. Namun, karena kita tidak tahu tinggi air dalam tangki, kita perlu menggunakan integral untuk menghitung tinggi air tersebut.

    Dengan menggunakan koordinat silinder, tinggi air dapat diintegrasikan dengan menggunakan rumus ∫ a b πr^2 dh, di mana a adalah tinggi minimal (0) dan b adalah tinggi maksimal (h).

    Setelah diintegrasikan, maka tinggi air dalam tangki adalah h = (πr^2h)/3.

    Dengan mengganti nilai r dan h ke dalam rumus volume tabung, maka volume air dalam tangki adalah V = π(20^2)(30) = 1200π cm^3.

  3. Sebuah pabrik mengeluarkan gas beracun ke atmosfer dengan laju aliran 50 kg/jam. Tentukan massa gas yang telah dikeluarkan pabrik tersebut setelah 2 hari.

    Jawab:

    Massa gas yang telah dikeluarkan pabrik dapat ditentukan dengan menggunakan rumus laju alir, yaitu Q = A x v, di mana Q adalah massa, A adalah luas sektor, dan v adalah kecepatan. Namun, karena kita tidak tahu massa gas yang telah dikeluarkan pabrik, kita perlu menggunakan integral untuk menghitung massa tersebut

    Dengan menggunakan koordinat kartesian, massa gas dapat diintegrasikan dengan menggunakan rumus ∫ a b f(x) dx, di mana a adalah waktu minimal (0) dan b adalah waktu maksimal (t).

    Setelah diintegrasikan, maka massa gas yang telah dikeluarkan pabrik adalah Q = ∫ a b f(x) dx.

    Dengan mengganti nilai t dan laju alir ke dalam rumus laju alir, maka massa gas yang telah dikeluarkan pabrik setelah 2 hari adalah Q = 50 x 2 x 24 = 2400 kg.

  4. Silahkan menuju artikel Contoh Penerapan Integral Dalam Dunia Nyata untuk melihat beberapa contoh lainnya.

Kalkulator Integral (dalam pengembangan)

Semoga artikel Apa itu Integral Pada Matematika ini dapat bermanfaat.

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Scroll to Top